 |
|||||
листать
Метод наименьших квадратов |
||
|
Пусть имеется набор значений yi, каждое из которых соответствует некоторому моменту времени ti (i = 1, 2,…, N). Требуется найти зависимость y = f(t), которая наилучшим образом описывала бы поведение таких дискретных данных. Метод наименьших квадратов утверждает, что в некотором классе функций таким "наилучшим" описанием (1) Σ(f(ti) - yi)2 à min Более того, доказывается, что такая кривая является единственной в рассматриваемом классе. Поэтому говоря об этом методе, мы должны указывать в каком классе ищется решение. В принципе, одни и те же данные мы можем описать разными функциями с помощью одного и того же метода. Здесь мы будем искать решение в классе линейных функций (прямая): y = at + b. Тогда условие (1) можно записать в следующем виде Σ(a*ti +b - yi)2 à min Необходимым условием существования минимума является равенство нулю двух частных производных по a и b соответственно: Σ((a*ti +b - yi)*ti) =0 Σ(a*ti +b - yi) = 0 В обозначениях Σti2 = stt Σ(yi*ti) = syt Σ(ti) = st Σ(yi) = sy и замечая, что Σb = bN систему можно переписать в виде a*stt + b*st - syt = 0 a*st +b*N - sy = 0 Решая эту систему двух линейных уравнений относительно a и b, получим a = (syt*N - sy*st)/(N*stt - st*st) b = (stt*sy - syt*st)/(N*stt - st*st) |
||
