Общие табличные выражения (CTE)

Рекурсивные СТЕ

B. О последовательности чисел Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи может быть вычислена с помощью следующей итерационной формулы:

A[i+2] = A[i] + A[i+1];  i = 1,…, n; A[1] = A[2] = 1.

Здесь очень легко увидеть аналогию с общим случаем предыдущего пункта, если ввести функцию f(x,y)=x+y.
Для хранения номера итерации i можно использовать колонку [iter], для A[i] используется колонка [a], для A[i+1] и A[i+2] - колонки [b] и [c]. Колонка [d] не потребуется. Используя общий подход, расчет чисел Фибоначчи можно выразить следующим кодом:

Консоль

Выполнить

WITH Fibonacci(iter,a,b,c) AS
(
 SELECT iter=1, a=1, b=1, c=1+1
 UNION ALL
 SELECT iter+1, a=b, b=c, c=b+c
 FROM Fibonacci WHERE b < 1000
)
SELECT * FROM Fibonacci;

with Fibonacci(iter,a,b,c) as (  select iter=1, a=1, b=1, c=1+1  UNION all  select iter+1, a=b, b=c, c=b+c  from Fibonacci where b < 1000 ) select * from Fibonacci;

    Схема

Нет схемы

Приведем результат запроса для вычисления чисел Фибоначчи, меньших 1000 (они
находятся во втором столбце таблицы).

С. Нахождение корней уравнений

Большой раздел математического и функционального анализа посвящен нахождению корней уравнений функции одного и многих переменных. Корнем уравнения g(x) = 0 называется число r (или вектор r), удовлетворяющее условию: g(r) = 0. Общим методом решения таких уравнений является сведение задачи к задаче о неподвижной точке:

x=f(x).

Смысл такого сведения состоит в нахождении такой функции f, при которой уравнения g (x) = 0 и x = f(x) являются эквивалентными. Кроме того, оператор f должен быть сжимающим. То есть, если значение r1 находится рядом с решением r, то значение r2=f(r1) должно быть еще ближе к решению:
abs(r-r2) < A * abs(r-r1), где положительная константа A меньше единицы (A<1) и не зависит от выбора значения r1.

Сжимающих отображений может быть много. Предпочтительными являются те из них, для которых константа A принимает меньшее значение. Чем меньше константа, тем быстрее сходится процесс нахождения корня уравнения g(x):

r2 = f(r1), r3 = f(r2),  r4 = f(r3) …

Приведем иллюстрирующий пример на SQL.